vector

ベクトルの性質

ベクトルとは向きと大きさを持った量である。（幾何学的解釈）
　　　向きと大きさが同じなら、ベクトルは等しい。

ベクトル空間を公理的に述べると、

加法 + とスカラー積 * が定義されている
これらの算法について自然な計算法則(結合法則、交換法則、分配法則)が成りたっている
- (a+b)+c = a+(b+c)
- a+b = b+a
- x*(y*a) = y*(x*a)
- x*(a+b) = x*a+x*b

上の1,2が成り立つ集合ならどんなものでも、ベクトル空間となる。

ベクトルの演算
ベクトル同士の演算には和と積(内積と外積)がある。

ベクトルの内積

ベクトルの内積とはそれぞれのベクトルがどれほどお互いに近いか、その程度を表す（スカラー）量である。（計量的な関係）

ベクトル a と b が直角ならば 0
同じ向きならば |a||b|
反対向きならば -|a||b|

物理的な意味は、力ｂが質点の移動ａの際に成した仕事の量を表す。

内積には結合法則、交換法則、分配法則が成りたっている。

(a・b)・c = a・(b・c)
a・b = b・a
a・(b+c) = a・b+a・c

ベクトルa=(a1, a2, a3)とb=(b1, b2, b3)の内積は以下のようになる。
(e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)とする)

a・b = (a1*e1+a2*e2+a3*e3)・(b1*e1+b2*e2+b3*e3)
     =a1*b1*(e1・e1)+a2*b2*(e2・e2)+a3*b3*(e3・e3)
     =a1*b1+a2*b2+a3*b3

または

a・b = |a||b|cosΘ

ベクトルの外積

外積の場合は、結合法則が成り立たない場合がある。例えば、a = (1, 1, 0)、b = (0, 1, 1)、c = (1, 0, 1) の場合である。
(a×b)×c = (-1, 0, 1)
a×(b×c) = (-1, 1, 0)
よって
(a×b)×c ≠ a×(b×c)

ベクトルa=(a1, a2, a3)とb=(b1, b2, b3)の外積は以下のようになる。
(e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)とする)

a×b = (a1*e1+a2*e2+a3*e3)×(b1*e1+b2*e2+b3*e3)

     = (a1*e1×b1*e1)+(a1*e1×b2*e2)+(a1*e1×b3*e3)     <- 各項を展開する
      +(a2*e2×b1*e1)+(a2*e2×b2*e2)+(a2*e2×b3*e3)
      +(a3*e3×b1*e1)+(a3*e3×b2*e2)+(a3*e3×b3*e3)

     = a1b1*(e1×e1)+a1b2*(e1×e2)+a1b3*(e1×e3)        <- ax×by=ab(x×y)を使ってまとめる
      +a2b1*(e2×e1)+a2b2*(e2×e2)+a2b3*(e2×e3)
      +a3b1*(e3×e1)+a3b2*(e3×e2)+a3b3*(e3×e3)

     = a1b2*(e1×e2)+a1b3*(e1×e3)        <- 同じベクトル同士の外積は0になるので消すことができる
      +a2b1*(e2×e1)+a2b3*(e2×e3)
      +a3b1*(e3×e1)+a3b2*(e3×e2)

     = a2b3*(e2×e3)+a3b2(e3×e2)         <- 同じベクトルごとにまとめる
      +a3b1*(e3×e1)+a1b3*(e1×e3)
      +a1b2*(e1×e2)+a2b1*(e2×e1)

     = a2b3*(e2×e3)-a3b2(e2×e3)         <- a×b=-b×aを使って項をそろえる
      +a3b1*(e3×e1)-a1b3*(e3×e1)
      +a1b2*(e1×e2)-a2b1*(e1×e2)

     = a2b3*e1-a3b2*e1                    <- e2×e3=e1
      +a3b1*e2-a1b3*e2                    <- e3×e1=e2
      +a1b2*e3-a2b1*e3                    <- e1×e2=e3

     = (a2b3-a3b2)*e1+(a3b1-a1b3)*e2+(a1b2-a2b1)*e3