ベクトル 2 (内積)

内積とは

内積とは 2 つのベクトルの間がどれくらい近いかを表す量です。
ベクトル a と、ベクトル b の内積 a * b は以下のように定義されます。

ここで、|a| はベクトル a の長さ、 |b| はベクトル b の長さ、 θ は 2 つのベクトルの間の角度です。
|a| = |b| = 1 の場合、内積 a * b は cosθ に等しくなることに注意してください。

内積の別の計算方法は以下のようになります。

ここで、 a = <<x1, y1, z1>>、 b = <<x2, y2, z2>> とします。

内積と角度の関係

内積は 2 つのベクトルの長さ(どちらも正の値)と cosθ の積なので、 θ が 0 度から 90 度の間では正の値、 θ が 90 度で 0、 θ が 90 度から 180 度の間では負の値になります。
このことから、内積の計算によってベクトル同士が、同じ向きを向いているかどうかを判断することができます。

• θ == 0 の場合
  a * b
  = |a||b|cos(0)
  = |a||b| * 1
  = |a||b| > 0
• θ > 0 && θ < 90 の場合
  a * b > 0
• θ == 90 の場合
  a * b
  = |a||b|cos(90)
  = |a||b| * 0
  = 0
• θ > 90 && θ < 180 の場合
  a * b < 0
• θ == 180 の場合
  a * b
  = |a||b|cos(180)
  = |a||b| * -1 < 0

参考

• ベクトル
  ベクトルの数学的に正しい説明
• 数学関係の参考書